indukcija je postupak u kojem se iz pojedinacnih slucajeva zakljucuje opcenito
peanovi aksiomi:
1) 1 je prirodan broj, 1eN
2) svaki prirodan broj n ima svog sljedbenika n⁺
3) ako dva prirodna broja imaju iste sljedbenike, tada su ti brojevi jednaki
4) broj 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja
5) ako je S podskup od N i vrijedi:
5.1) 1eS
5.2) keS
5.3) (k+1)eS
tada je S=N

peti peanov aksiom je zapravo nacelo matematicke indukcije

princip matematicke indukcije
ako neka tvrdnja vrijedi za 1, za n i za n+1, onda vrijedi za svaki prirodan broj n

dokaz matematickom indukcijom provodi se u tri koraka
1) baza indukcije
2) pretpostavka indukcije
3) korak indukcije

1) baza indukcije

trebamo utvrdit dali tvrdnja vrijedi za 1, u zadacima gdje je receno da vrijedi za n>m, trebamo utvrdit dal vrijedi za m+1, za m+2, kako bi nam bilo lakse doc do pretpostavke, ako ni to nemamo to zna bit na natjecanjima...

2) pretpostavka indukcije

pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi za neki n odnosno zakljucujemo na temelju baze sto bi moglo vrijedit za n

3) korak indukcije

uz pretpostavku dokazujemo da tvrdnja vrijedi za n+1, ukoliko dodemo do kontradikcije tvrdnja ne vrijedi

thumb_upLikethumb_downDislike

Zadnja promjena: Gino; 1/11/2008, 00:28; ukupno mijenjano 1 put.

Re: Matematička indukcija
Gino25/6/2008, 15:00

lakse ce sigorno bit na primjeru objasnit, a i da vidite o kakvim je zadacima rjec

dokazi da je formula za zbroj prvih n prirodnih brojeva n(n+1)/2

baza indukcije)
n=1
1*2/2=1
sto vrijedi
pretpostavka indukcije)
n=k, n,keN bez toga skidaju bodove na natjecanjima
1+2+3+4+...+k=k(k+1)/2
korak indikcije)
n=k+1, n,keN bez toga skidaju bodove na natjecanjima
1+2+3+4+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2
k(k+1)/2+k+1=(k+1)(k+2)/2
(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2
(k+1)[(k+2)/2]=(k+1)(k+2)/2
cime je tvrdnja zadatka dokazana

za sad tolko, ako ima pitanja...
pa cu vec postavit neke zadatke te tezine pa do tezih
i stavit cu jedan koji je bio na zupanijskom, kad sam ja bio drugi razred, ako se ne varam, inace se nalazi i u knjizi za 4. razred, i sa indukcijom se ga rjesava relativno lako, bez indukcije ga nisam znao, al se moze...
dakle sa indukcijom je lakse

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
Gino25/6/2008, 15:13

k(k+1)/2+k+1=(k+1)(k+2)/2
(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2
(k+1)[(k+2)/2]=(k+1)(k+2)/2
cime je tvrdnja zadatka dokazana

a šta radiš s ovim nakošenim djelom, nije mi jasno ?

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
tuv0k25/6/2008, 15:27

dakle trebalo je dokazat da vrijedi 1+2+3+...+n=n(n+1)/2
sto sam i dokazao matematickom indukcijom u njena tri koraka, kuzis?

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
Gino25/6/2008, 15:32

..konkretno zašto si dokazivao
(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2
(k+1)[(k+2)/2]=(k+1)(k+2)/2

kada su (k/2+1) i (k+2)/2 potpuno isti... ?

i ne vidim smisla isticanja

n=k, n,keN bez toga skidaju bodove na natjecanjiman=k+1
n,keN bez toga skidaju bodove na natjecanjima
šta je uopće taj k?

thumb_upLikethumb_downDislike

Zadnja promjena: tuv0k; 25/6/2008, 15:39; ukupno mijenjano 1 put.

Re: Matematička indukcija
tuv0k25/6/2008, 15:38

...konkretno zašto si dokazivao
(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2
(k+1)[(k+2)/2]=(k+1)(k+2)/2

kada su (k/2+1) i (k+2)/2 potpuno isti... ?

pa samo sam u drugom koraku napisao da je isto, sta ti nije jasno
moram dokazat da su lijeva i desna strana jednadzbe jednake

i ne vidim smisla isticanja
n=k, n,keN bez toga skidaju bodove na natjecanjima
n=k+1 n,keN bez toga skidaju bodove na natjecanjima
šta je uopće taj k?

to sam istaknuo jer je rjec o prirodnim brojevima, u zadatku pise da se dokaze za n, ja sam u pretpostavci pretpostavio da vrijedi za neki keN, i dokazao u koraku da vrijedi za k+1, ako vrijedi za 1, za k i za k+1, vrijedi za bilo koji neN
time si dokazao tvrdnju zadatka
... neki ne uvode taj k, nego pisu sa n... dodes na isto

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
Gino25/6/2008, 15:47

pa samo sam u drugom koraku napisao da je isto,

e tu je došlo do zabune jer nisam skužio čemu 2 put isticati isto...ali nema veze...

... neki ne uvode taj k, nego pisu sa n... dodes na isto

aha...ok...tnx

kada budeš ima vremena probaj još neki...hvala

thumb_upLikethumb_downDislike

Zadnja promjena: tuv0k; 25/6/2008, 15:51; ukupno mijenjano 1 put. (Reason for editing : dopuna)

Re: Matematička indukcija
tuv0k25/6/2008, 15:50

neki sljedeci zadatak
dokazi da vrijedi
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

zadatak cemo rjesiti uporabom matematicke indukcije

baza inukcije)
n=1
1*2=1(2)(3)/3
2=2

pretpostavka indukcije)
n=k, n,keN
1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3

korak indukcije)
n=k+1, n,keN
1*2+2*3+3*4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)/3
k(k+1)(k+2)/3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)/3
[(k+1)(k+2)](k/3+1)=(k+1)(k+2)(k+3)/3
(k+1)(k+2)[(k+3)/3)=(k+1)(k+2)(k+3)/3
(k+1)(k+2)(k+3)/3=(k+1)(k+2)(k+3)/3
time je tvrdnja zadatka dokazana

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
Gino25/6/2008, 15:56

evo jos jedan zadatak, nek ga proba netko rjesit:
1+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
... ako dode do kontradikcije, znaci da sam fulao formulu, al mislim da nisam

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
Gino25/6/2008, 16:44

dakle...

1)baza
n²=n(n+1)(2n+1)/6
1=1·2·3/6
1=1

2)preptostavka
n=a ,n,aeN
1+2² + 3² + ... + a²=a(a+1)(2a+1)/6

3)korak
n=a+1 ,n,aeN
1+2² + 3² + ... + a² + (a+1)²=(a+1)(a+2)(2a+3)/6
a(a+1)(2a+1)/6 +(a+1)²=(a+1)(a+2)(2a+3)/6 /·6
a(a+1)(2a+1) + 6(a+1)²=(a+1)(a+2)(2a+3)
(a+1)[a(2a+1)+6(a+1)]=(a+1)(a+2)(2a+3) / (a+1)
a(2a+1)+6(a+1)=(a+2)(2a+3)
odnosno
(a+2)(2a+3)=(a+2)(2a+3)

čime je ova tvrdnja dokazana

hvala mom učitelju što me je naučio...

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
tuv0k25/6/2008, 17:14

a(a+1)(2a+1)/6 +(a+1)²=(a+1)(a+2)(2a+3)/6 /·6

nema mnozenja sa 6

(a+1)[a(2a+1)+6(a+1)]=(a+1)(a+2)(2a+3) / (a+1)

niti djeljenja sa (a+1)
treba se malo potrudit i sredit lijevu stranu bez da se dira desnu
moglo bi ovako:
a(a+1)(2a+1)/6 +(a+1)²=(a+1)(a+2)(2a+3)/6
(a+1)[a(2a+1)/6+a+1]=(a+1)(a+2)(2a+3)/6
(a+1)[a(2a+1)+6a+6]/6=(a+1)(a+2)(2a+3)/6
(a+1)[2a²+a+6a+6]/6=(a+1)(a+2)(2a+3)/6
(a+1)[2a²+4a+3a+6]/6=(a+1)(a+2)(2a+3)/6
(a+1)[2a(a+2)+2(a+2)]/6=(a+1)(a+2)(2a+3)/6
(a+1)(a+2)(2a+3)/6=(a+1)(a+2)(2a+3)/6

hvala mom učitelju što me je naučio...

nismo gotovi ima jos toga, ali kad shvatis osnovu, nije tesko

thumb_upLikethumb_downDislike

Zadnja promjena: Gino Lottaspaghetti; 26/6/2008, 18:07; ukupno mijenjano 1 put.

Re: Matematička indukcija
Gino25/6/2008, 17:54

jel možeš pokazati primjer baš na nekom zadatku, ne na dokazima ?

za bazu indukcije, uvijek uzimamo jedinicu, ili neki broj koji sigurno podržava tvrdnju?
ti uvijek imaš 1 pa me zanima da li mogu isto napraviti sa 2, uzimaš jer ti je lakše računati s 1?

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
msantl25/6/2008, 18:40

uzimam 1 jer mi je lakse racunat sa 1, najcesce se u bazi koriste najmanji za koje tvrdnja vrijedi, od prirodnih brojeva to je 1
matematicka indukcija se koristi da bi se dokazale tvrdnje, tako da su ti ti moji dokazi ubiti zadaci
ima i kad se dokazuje dal je neki polinom djeljiv s odredenim brojem, mislim to je ono sta se radi u skoli, inace se indukcija koristi u jos puno slucaja...
budem stavio jos neke zadatke, ono kod kojih se mora zakljucit pretpostavku, nakon toga niz zadataka, pa kad ih rjesite idemo na djeljivost, a nakon toga onaj zadatak s natjecanja...

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
Gino25/6/2008, 18:47

nema mnozenja sa 6
niti djeljenja sa (a+1)

OK...nisam znao...

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
tuv0k25/6/2008, 20:27

Zapeo sam na jednom zadatku pa me ispravite gdje griješim...

1*3+3*5+...+(2n-1)(2n+1)=(1/3)*n*(4n²+6n-1)

1)Baza
(2n-1)(2n+1)=1/3 * n(4n²+6n-1)
3=3

2)Pretpostavka
n=k,n,keN
1*3+3*5+...+(2k-1)(2k+1)=1/3 * k(4k² + 6k -1)

3)Korak
ee tu se javlja problem...ne znam kako srediti lijevu stranu(pošto ne smijem dirati desnu) da bude jednaka desnoj...
1*3+3*5+...+(2k-1)(2k+1) + (2k+1)(2k+3)=1/3 *(k+1) 2(4k+9)

thumb_upLikethumb_downDislike

Zadnja promjena: Banned member; 26/6/2008, 00:02; ukupno mijenjano 4 put/a.

Re: Matematička indukcija
tuv0k25/6/2008, 21:44

možel li, molim te , pisati što ti je u koraku k (kao u pretopstavci)

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
msantl25/6/2008, 23:45

sorry zaboravio sam...
3)korak
n=k+1,n,keN
1*3+3*5+...+(2k-1)(2k+1) + (2k+1)(2k+3)=1/3 * n *(k+1)(4k²+14k+9)

u onom prijašnjem postu nešto sam zeznuo pa zadnja zagrada izgleda kao eksponent

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
tuv0k25/6/2008, 23:59

ok, ja sam sada probao i došlo mi je jednako s obje strane.

kako si ti došao do kraja, mislim faktorizacijom ili kako drugo?

evo mog kraja :

(4k³ + 18k² + 23k+9 )/3= (4k³+18k²+23k+9)/3

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
msantl26/6/2008, 00:04

Ja nisam uopće došao do kraja...rekao je Gino da se valjda ta desna strana ne bi trebala dirati...

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
tuv0k26/6/2008, 00:12

ok, ja sam sada probao i došlo mi je jednako s obje strane.

kako si ti došao do kraja, mislim faktorizacijom ili kako drugo?

evo mog kraja :

(4k³ + 18k² + 23k+9 )/3= (4k³18k²+3k+9)/3

da...hmm...sada sam to malo razmotrio...zapravo si množio, ili rastavio cijelu lijevu i desnu stranu...a ne znam baš je li to to...ali će Gino reći...jer sam ja nešto slično napravio u jednom zadatku i rekao mi je da se desna strana ne bi smjela "dirati"...

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
tuv0k26/6/2008, 00:16

aha, ja sam mislio da ju ne smijem dirati u pogledu da ne množim sa zajedničkim nazivnikom i tako nešto, idem opet pokušavat

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
msantl26/6/2008, 00:20

da a ako z desne strane ubacim k+1 umjesto n onda mi je logično da ću ako treba kvadrirati , zbrojiti ih i to , se smije to tako ili se samo ubaci k+1 umjesto i n i pokušava dobiti isto s ljeve strane?

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
msantl26/6/2008, 00:22

gle...prepiši korak iz pretpostavke i umjesto(2k-1)(2k+1) napiši (2k+1)(2k+3), a sa desne strane umjesto n ubaci k+1. onda umjesto koraka iz pretpostavke napiši ono čemu je to jednako(u ovom slučaju to je 1/3 * k(4k² + 6k-1) i ne bi smio desnu stranu micati...

idem ja spavati sada...ću ti sutra objasniti...jer radim ujutro...

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
tuv0k26/6/2008, 00:28

ma sve jasno za ljevu stranu, nego desna me muči, što se smije raditi na desnoj strani?

thumb_upLikethumb_downDislike

Re: Matematička indukcija
msantl26/6/2008, 00:32

Re: Matematička indukcija
Sponsored content