Srednjeeuropsko matematičko natjecanje po prvi put je održano u rujnu 2007. godine. Iz svake zemlje sudjeluje po 6 učenika koji nisu sudjelovali iste godine na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi. Natjecanje se odvija u dva dijela: prvog dana pojedinačno natjecanje, a drugog dana ekipno.
Zadaci
Pojedinačno natjecanje
1. Neka su a, b, c, d pozitivni realni brojevi, takvi da je a + b + c + d = 4. Dokaži da vrijedi a2bc + b2cd + c2da + d2ab ≤ 4.
2. Komplet kuglica sadrži n kuglica označenih brojevima 1, 2, 3,..., n. Dano je k > 1 takvih kompleta. Želimo obojiti kuglice u dvije boje, crnu i bijelu, tako da vrijede sljedeća svojstva:
(a) kuglice označene istim brojem obojene su istom bojom,
(b) svaki skup od k+1 kuglica označenih brojevima a1, a2,..., ak+1 (ne nužno različitim) za koje vrijedi a1 + a2 + ... + ak = ak+1, sadrži barem jednu crnu i barem jednu bijelu kuglicu.
Odredi, ovisno o k, najveći broj n za koji je takvo bojenje moguće.
3. Neka je k kružnica i k1, k2, k3, k4 četiri manje kružnice čija su središta O1, O2, O3, O4 redom, te neka ta središta leže na kružnici k. Za i = 1,2,3,4, uz k5 = k1, kružnice ki i ki+1 sijeku se u Ai i Bi, pri čemu Ai leži na k. Točke O1, A1, O2, A2, O3, A3, O4, A4 leže tim redom na kružnici k i sve su međusobno različite. Dokaži da je B1B2B3B4 pravokutnik.
4. Odredi sve parove (x,y) prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu x! + y! = xy.
Ekipno natjecanje
1. Neka su a, b, c, d realni brojevi koji zadovoljavaju 1/2 ≤ a, b, c, d ≤ 2 i abcd = 1. Odredite najveću vrijednost izraza (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/d)(d + 1/a).
2. Za skup P koji se sastoji od pet točaka ravnine u općem položaju, označimo s a(P) broj šiljastokutnih trokuta s vrhovima iz P. (Za skup točaka ravnine kažemo da su u općem položaju, ako nikoje tri od tih točaka ne leže na istom pravcu.) Odredite najveću moguću vrijednost od a(P).
3. MEMO-tetraedar je tetraedar (trostrana piramida) sa svojstvom da su duljine njegovih šest bridova međusobno različiti prirodni brojevi, od kojih je jedan 2, i jedan 3. Neka s(T) označava zbroj duljina bridova tetraedra.
(a) Odredite sve prirodne brojeve n, za koje postoji MEMO-tetraedar T, takav da je s(T) = n.
(b) Koliko ima nesukladnih MEMO-tetraedara T za koje vrijedi s(T) = 2007 ?
Dva tetraedra su nesukladna ako se ne mogu preslikati jedan na drugoga kompozicijom simetrija u odnosu na ravninu, translacija i rotacija. (Nije potrebno dokazivati da tetraedri nisu degenerirani, t.j. da imaju volumen veći od nule.)
4. Odredite sve prirodne brojeve k sa sljedećim svojstvom: postoji cijeli broj a takav da je (a + k)3 − a3 višekratnik od 2007.
Zadaci
Pojedinačno natjecanje
1. Neka su a, b, c, d pozitivni realni brojevi, takvi da je a + b + c + d = 4. Dokaži da vrijedi a2bc + b2cd + c2da + d2ab ≤ 4.
2. Komplet kuglica sadrži n kuglica označenih brojevima 1, 2, 3,..., n. Dano je k > 1 takvih kompleta. Želimo obojiti kuglice u dvije boje, crnu i bijelu, tako da vrijede sljedeća svojstva:
(a) kuglice označene istim brojem obojene su istom bojom,
(b) svaki skup od k+1 kuglica označenih brojevima a1, a2,..., ak+1 (ne nužno različitim) za koje vrijedi a1 + a2 + ... + ak = ak+1, sadrži barem jednu crnu i barem jednu bijelu kuglicu.
Odredi, ovisno o k, najveći broj n za koji je takvo bojenje moguće.
3. Neka je k kružnica i k1, k2, k3, k4 četiri manje kružnice čija su središta O1, O2, O3, O4 redom, te neka ta središta leže na kružnici k. Za i = 1,2,3,4, uz k5 = k1, kružnice ki i ki+1 sijeku se u Ai i Bi, pri čemu Ai leži na k. Točke O1, A1, O2, A2, O3, A3, O4, A4 leže tim redom na kružnici k i sve su međusobno različite. Dokaži da je B1B2B3B4 pravokutnik.
4. Odredi sve parove (x,y) prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu x! + y! = xy.
Ekipno natjecanje
1. Neka su a, b, c, d realni brojevi koji zadovoljavaju 1/2 ≤ a, b, c, d ≤ 2 i abcd = 1. Odredite najveću vrijednost izraza (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/d)(d + 1/a).
2. Za skup P koji se sastoji od pet točaka ravnine u općem položaju, označimo s a(P) broj šiljastokutnih trokuta s vrhovima iz P. (Za skup točaka ravnine kažemo da su u općem položaju, ako nikoje tri od tih točaka ne leže na istom pravcu.) Odredite najveću moguću vrijednost od a(P).
3. MEMO-tetraedar je tetraedar (trostrana piramida) sa svojstvom da su duljine njegovih šest bridova međusobno različiti prirodni brojevi, od kojih je jedan 2, i jedan 3. Neka s(T) označava zbroj duljina bridova tetraedra.
(a) Odredite sve prirodne brojeve n, za koje postoji MEMO-tetraedar T, takav da je s(T) = n.
(b) Koliko ima nesukladnih MEMO-tetraedara T za koje vrijedi s(T) = 2007 ?
Dva tetraedra su nesukladna ako se ne mogu preslikati jedan na drugoga kompozicijom simetrija u odnosu na ravninu, translacija i rotacija. (Nije potrebno dokazivati da tetraedri nisu degenerirani, t.j. da imaju volumen veći od nule.)
4. Odredite sve prirodne brojeve k sa sljedećim svojstvom: postoji cijeli broj a takav da je (a + k)3 − a3 višekratnik od 2007.